Labiausiai paplitusi vertybinių popierių su fiksuotomis pajamomis rūšis yra obligacija, todėl ypatingas dėmesys čia bus skirtas būtent šiai vertybinių popierių rūšiai. Kartu, ir tai būtina pažymėti, dauguma išnagrinėtų metodų tinka ir kitų rūšių vertybiniams popieriams su fiksuotomis pajamomis.

1. Obligacijų rūšys

Jei reikia pritraukti žymias pinigines lėšas, vyriausybė, municipalitetai, bankai ir kiti finansiniai institutai, o taip pat atskiros firmos ar jų susivienijimai dažnai imasi obligacijų išleidimo ir pardavimo. Obligacija (bond) laikomas vertybinis popierius, liudijantis apie tai, kad jos savininkas suteikė paskolą šio popieriaus emitentui. Obligacija aprūpina jos sąvininką reguliariu fiksuotų pajamų gavimu ir termino pabaigoj tam tikra išpirkos kaina (paprastai lygia nominalui).

Pagrindiniai obligacijos parametrai:

• nominalinė kaina (nominalas),
• išpirkos kaina arba jos nustatymo taisyklė, jei ji skiriasi nuo nominalo,
• apmokėjimo data,
• kupono procentas (kuponas) (cupon rate) ir
• palūkanų (procentų) mokėjimo terminai. Palūkanų mokėjimas vyksta vieną kartą metuose, kas pusmetį arba kas ketvirtį.

Tam tikrą reikšmę obligacijoms turi priešlaikinio obligacijos išpirkimo draudimo (call protection) numatymas arba nenumatymas. Emitento turėjimas priešlaikinės išpirkos teisę tam tikra prasme mažina obligacijos kokybę, nes padidėja neapibrėžtumo laipsnis investitoriui.

Kadangi egzistuoja daug obligacijų rūšių, klasifikuojame jas pagal kelis požymius. Atitinkamų įstatymų ir pakankamos patirties išleidžiant obligacijas šalyje nebuvimas neleidžia duoti tėvyninių obligacijų išplėtotos klasifikacijos. Kas liečia užsienio obligacijas, tai jas galima suklasifikuoti taip:

a) pagal apdraudimo metodą skiriamos:

• valstybinės obligacijos (government bonds), jos apdraustos šalies vyriausybės garantija (atitinkamai municipalinės - municipalitetų garantija);

• privačių korporacijų obligacijos (corporate bonds) - įsipareigojimai, apdrausti korporacijos turto ipotekos pavidalo užstatu, nekilnojamo turto teisių perdavimu, pajamomis iš įvairių programų ir projektų;

• privačių korporacijų obligacijos be specialaus apdraudimo korporacijos turtu (corporate debentures).

b) pagal terminą: obligacijos su tam tikra nustatyta apmokėjimo data arba grąžinimo terminu (day of maturity) ir obligacijos be fiksuoto termino - ji gali būti išpirkta bet kokiu momentu.

c) pagal nominalo apmokėjimo metodą:

• terminuotos obligacijos (term bonds) - nominalo arba išpirkimo kaina apmokama viekartiniu mokėjimu;

• obligacijos su paskirstytu laike apmokėjimu, t.y. nurodytoj laiko atkarpoj apmokama tam tikra nominalo dalis;

• obligacijos su nuosekliu fiksuotos dalies apmokėjimu nuo bendro obligacijų kiekio (serial bonds); dažnai šis metodas realizuojamas loterijos pagalba (loterinės ar tiražinės paskolos).

Priklausomai nuo pajamų išmokėjimo metodo ir paskolos apmokėjimo būdų išskiriamos keturios obligacijų rūšys (čia ir toliau nagrinėjamos obligacijos, kurios apmokamos tiražų pagalba):

• obligacijos, pagal kurias atliekamas tik palūkanų išmokėjimas, kapitalas negrąžinamas, tiksliau, emitentas nurodo jų išpirkimo galimybę, nesuvaržydamas savęs konkrečiu terminu. Tokios obligacijos - tai paskolos be nustatyto termino. Pavyzdžiui, Anglijoje - konsoliai, Prancūzijoj - prancūziška renta.

• obligacijos, pagal kurias neišmokamos palūkanos, tai taip vadinamos obligacijos su nuliniu kuponu (zero cupon);

• obligacijos, pagal kurias sąvininkams palūkanos neišmokamos iki obligacijos apmokėjimo momento, pavyzdžiui, JAV - taupomosios E serijos obligacijos (saving bonds series E);

• obligaijos, suteikiančios jų sąvininkui teisę į periodiškai išmokamų fiksuotų pajamų (palūkanų) cir išpirkimo sumos gavimą ateityje (JAV - taupomosios N serijos obligacijos). Ši rūšis obligacijų, išleidžiamų valstybinių finansinių įstaigų ir privačių korporacijų, labiausiai paplitusi šiuolaikinėj praktikoj. Paskutiniai rūšiai galimi palūkanų išmokėjimai pagal kintamą laike normą. Obligacijų išleidimo praktikoje žinomi atvejai, kada einamųjų pajamų norma nebuvo nustatyta vienareikšmiškai, o buvo nustatoma priklausomai nuo kokių nors išorinių sąlygų, pavyzdžiui, nuo konjunktūros piniginėje - kreditinėje rinkoje.

Obligacijos yra svarbus finansinių investicijų objektas. Nuo jų emisijos momento ir iki apmokėjimo jos parduodamos ir perkamos už rinkoje nusistovėjusias kainas. Rinkos kaina emisijos momentu gali būti žemesnė už nominalą(discount bond), lygi nominalui (at par) ir didesnė už nominalą (premium bond).

Kadangi skirtingų obligacijų nominalai iš esmės tarp savęs skiriasi (pavyzdžiui, JAV valstybinių ir komercinių bankų obligacijų nominalinės kainos yra diapazone nuo 25 ik 100000 dol.), todėl dažnai atsiranda būtinybė turėti sugretinantį obligacijų rinkos kainos matuoklį. Tokiu rodikliu yra kursas. Kursu (quote) suprantama vienos obligacijos pirkimo kaina skaičiuojant 100 piniginių nominalo vienetų:

P_k = P/ N ´ 100, (9.1)

kur

P_k - obligacijos kursas;

P - rinkos kaina;

N - nominalinė obligacijos kaina.

Pavyzdžiui, jei obligacija su 1000 Lt nominalu parduodama už 911 Lt, tai jos kursas 91.1. Užsienyje terminas obligacijos kaina dažnai reiškia jos kursą. Rinkos kaina ir kursas priklauso nuo obligacijos pelningumo lygio, nuo paskolos palūkanų lygio vertinimo momentu ir eilės kitų sąlygų, iš kurių svarbiausia yra kapitalinių įdėjimų patikimumo (rizikos laipsnio) įvertinimas.

Bendros obligacijų ir bet kurio kito vertybinio popieriaus pajamos su fiksuotomis einamosiomis pajamomis susideda iš trijų elementų:

• periodiškai išmokamų kuponinių pajamų arba palūkanų priskaičiavimo,

• vertybinio popieriaus vertės pakeitimo (t.y. jos priartinimo prie išpirkos kainos) per tam tikrą laiko periodą; jei obligacija buvo nupirkta su diskontu (p<N), tai šis elementas teigiamas dydis (capital gains); jei ji nupirkta su premija (p>N), tai yra neigiamas dydis (capital losses); galų gale, jei obligacija nupirkta pagal nominalą, tai šio elemento nėra;

• pajamos iš kuponų įplaukų reinvesticijos.

Paskutinis elementas, suprantama, turi savyje tam tikrą sąlygiškumą. Tačiau į jį reikėtų atkreipti dėmesį, ypatingai ilgalaikėse operacijose, kur ši bendrų pajamų sudedamoji gali suvaidinti svarbų vaidmenį.

Pajamos iš obligacijų paprastai mažesnės nei iš kitų rūšių vertybinių popierių, tačiau jos mažiau priklauso nuo konjunktūrinių ir ciklinių svyravimų, negu pajamos iš akcijų. Pavyzdžiui, jų išmokėjimas gali būti nutrauktas tik korporacijos, išleidusios obligacijas, bankroto atveju. Kadangi obligacijų patikimumas didesnis nei kitų vertybinių popierių, į jas investuojamos laisvos pensijinių fondų, draudimo kompanijų, savitarpio fondų ir t.t. lėšos. Daugelyje šalių istatymais numatoma dalį atitinkamų finansinių įstaigų aktyvų įdėti į valstybines obligacijas.

2. Obligacijų reitingas

Obligacijos yra būtinas elementas finansinių investicijų portfelių (paketų) struktūroje. Investicijos į vertybinius popierius susijusios, kaip žinome, su tam tikra rizika. Čia galima išskirti dvi pagrindines rizikos rūšis - kreditinė (credit risk) ir rinkos (market risk). Pirma įvertina palūkanų ir pagrindinės skolos sumos išmokėjimo atsisakymą (duotam kontekste - obligacijos nominalo). Rinkos rizika, kuri dar vadinama palūkanų normos rizika (interest rate risk), apima rinkos kainos svyravimus, nustatomus pagal bendro lygio paskolos palūkanų pasikeitimą. Akivaizdu, kad rinkos rizika žymia dalimi nustatoma obligacijos apmokėjimo terminu - kuo didesnis šis terminas, tuo labiau tikėtinos rinkos palūkanų normų žymios svyravimų amplitudės. Žemiau mes paliesim obligacijų termino pakeitimo problemą.

Grįžkim prie kreditinės rizikos. Akivaizdu, kad ji charakterizuoja emitento kreditinį pajėgumą. Todėl valstybinius įsipareigojimus priimta laikyti labiau patikimais, su mažiausia kreditine rizika. Į komercinių struktūrų vertybinius popierius, suprantama, žiūrima su mažesniu pasitikėjimu - visada lieka tam tikra bankroto galimybė.

Obligacijų kokybę priklausomai nuo kreditinės rizikos vertina specialios agentūros (firmos) jos priskiria obligacijas tam tikrai vertybinių popierių kategorijai pagal palūkanų ir išpirkos kainos išmokėjimo patikimumo laipsnį. Tokia operacija vadinama reitingu (raiting). Tuo pačiu pažymėsim, kad reitingas taikomas ne tik vertybiniams popieriams, bet ir korporacijoms. JAV nacionalinių ir užsieninių obligacijų reitingą vykdo iš esmės dvi agentūros - "Standart and Poor's" ir "Moody's". Nurodytos agentūros obligacijas, išleidžiamas korporacijų, priskiria vienai iš devynių kategorijų: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C ("Standart and Poor's") ir Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa, Ca, C ("Moody's").

Obligacijų priskyrimo vienai ar kitai kategorijai sąlygos neišsiskiria dideliu tikslumu. Aukščiausia kategorija pagal obligacijų kokybę yra AAA. Jai priskiriamos obligacijos, charakterizuojamos ypatingai aukštu patikimumo laipsniu ir kas liečia išpirką, ir kas liečia palūkanų išmokėjimus. Jų įvertinimas vertybinių popierių rinkoje nustatomas tik palūkanų normos lygiu (Įvertinimo metodas nagrinėjamas kitame paragrafe). Obligacijų, priskirtų kategorijai AA kokybė tik truputi mažesnė nei obligacijų AAA. Jų rinkos kainos taip pat nustatomos palūkanų normos judėjimu pinigų rinkoje. Kategorija A apima geriausias vidutinės kokybės obligacijas. Jų rinkos įvertinimas didele dalimi nustatomas palūkanų norma pinigų rinkoje, tačiau ji susijusi ir su konjungtūriniais faktoriais.

Kategorija BBB yra tarpinė tarp patikimų obligacijų ir obligacijų, kurios tam tikra dalimi turi spekuliacinį charakterį. Čia priskiriamos vidutinės kokybės obligacijos, kurios turi adekvatų aprūpinimą ir normaliomis sąlygomis duoda patenkinamas pajamas. Jos iš esmės priimtinos susiklosčiusiai ekonominei kojungtūrai. Jų rinkos vertė didesne dalimi nustatoma remiantis atitinkamo laiko momento ypatumais nei palūkanų norma, esančia pinigų rinkoje.

Obligacijos, priskirtos BBB kategorijai ir aukščiau, paprastai laikomos praktiškai saugiomis. Daugelis JAV finansinių įstaigų (pavyzdžiui, komerciniai bankai) paprastai įdeda lėšas, skirtas obligacijų pirkimui, tik į šias obligacijas. Eilė įstaigų (pavyzdžiui, pensijiniai fondai) gali pagal įstatymus investuoti lėšas tik kategorijos A ir aukštesnes obligacijas.

Kategorija BB apima blogiausias investiciniu požiūriu vidutinės kokybės obligacijas. Jos charakterizuojamos žemais pajamų rodikliais. Palūkanos išmokamos sistemingai, bet galimi nedideli deficitiniai laikotarpiai. Kategorijai B priskiria spekuliacines obligacijas, pagal kurias palūkanų mokėjimas blogomis ekonominėmis sąlygomis, neužtikrintas.

Kategorijoms CCC ir CC priskiriamos atvirai spekuliacinės obligacijos. Palūkanos pagal jas išmokamos, bet esant blogai ekonominei konjungtūrai tai abejotina. Kategorijai C priklauso obligacijos, pagal kurias palūkanos neišmokamos.

Analogišką obligacijų reitingą vykdo agentūra "Moody's". JAV reitingas plėtojamas ir trumpalaikiams komerciniams vekseliams (commercial papers), išleidžiamiems į apyvartą stambių korporacijų. Komercinius vekselius skirsto anksčiau minėtos korporacijos į tokias kategorijas: A1 - aukščiausia investicinė klasė, A2 - aukšta investicinė klasė, A3 - vidutinė investicinė klasė, B - vidutinė klasė, C - spekuliaciniai, D - laukiama bankroto.

Didžiojoj Britanijoj obligacijų reitingu užsiima firma "Extel. Statistical Service". Obligacijos iš leistos Didžiojoj Britanijoj, šios agentūros pagal patikimumo laipsnį yra priskiriamos vienai iš penkių kategorijų: nuo A iki E. Tos pačios kategorijos taikomos ir vertinant pačių kompanijų ir korporacijų, išleidžiančių obligacijas patikimumą.

Kanados reitingo tarnyba (Canadian Bond Rating Service) obligacijas, išleistas Kanadoje klasifikuoja pagal aštuonias kategorijas: nuo A++ iki D.

3. Obligacijų pelningumas

Praktikoje gana dažnai iškyla uždavinys nustatyti investicijų faktinį pelningumą, kai žinomas obligacijos kursas arba jos realizavimo kaina. Kitaip sakant, iškyla uždavinys nustatyti paskolos finansinį efektyvumą. Panašus uždavinys gali iškilti renkanti vieną iš skirtingų sąlygų siūlomų paskolų, kredito apmokėjimo sąlygų ir t.t. Žinoma kad kreditorius, jei jis turi teisę rinktis, efektyviausia laikys paskolą, duodančią jam didžiausias pajamas. Skolininko pozicija, suprantama, priešinga - jis, jei yra galimybė rinktis, rinksis paskolą arba kreditą su mažiausiu mokėjimu už jį, t.y. su mažiausia palūkanų norma. Su analogiška situacija susiduriama ir peržiūrint obligacijų portfelio struktūrą. Ir taip, paskolų (obligacijų) efektyvumo nustatymo uždavinys susiveda į jų pelningumo nustatymą. Ilgalaikių obligacijų pelningumas daugeliu atvejų gali būti charakterizuojamas keletu parametrų. Obligacijų su periodiniais palūkanų išmokėjimais pelningumą galima išmatuoti kaip kupono procentus (coupon rate), kaip investicijų, įdėtų į obligacijas einamąjį pelningumą (current, running yield), galų gale, kaip pilną pelningumą (yield to maturity, redemption yield, yield).

Einamasis pelningumas parodo santykį tarp įplaukų pagal kuponus ir obligacijas įsigijimo kainos:

Einamojo pelningumo rodiklis yra paprasčiausia priemonė, charakterizuojanti einamasias metines įplaukas priklausomai nuo padarytų investicijų. Jis neatsižvelgia į antrą pajamų šaltinį - obligacijos kainos pasikeitimą per jos saugojimo laiką. Remiantis tik einamuoju pelningumu, negalima teisingai išspręsti patraukliausios investitoriui investicijų rūšies išsirinkimo problemos. Pakanka pasakyti, kad obligacijų su nuliniu kuponu ir depozitinių sertifikatų einamasis pelningumas lygus nuliui. Tuo pat metu tai gali būti gana pajamingais investicijų objektais, turint galvoje pilną jų "gyvenimo" laikotarpį. Skirtingai nei einamojo pelningumo rodiklis, pilno pelningumo rodiklis atsižvelgia į abu pajamų šaltinius. Jo skaičiavimo metodai pritaikyti kreditinėms operacijoms buvo aptarti 8 skyriuje. Panagrinėsim dabar jo nustatymo metodiką obligacijų analizėje. Pilno pelningumo rodiklį, pritaikytą obligacijoms ir kitų rūšių ilgalaikėms ivvesticijoms tinka pavadinti įdėjimo norma. Ir taip, įdėjimo norma išmatuoja ovligacijos realų finansinį efektyvumą investitoriui atsižvelgiant į pajamų rūšį. Ilgalaikės paskolos efektyvumo išmatavimo uždavinys susiveda į įdėjimo normos kaip metinės sudėtinių palūkanų normos (retai - paprastų) nustatymą. Palūkanų pagal šią normą priskaičiavimas obligacijų įsigijimo kainai duoda pajamas, ekvivalentines faktiškai gaunamoms iš jos pajamoms už visą obligacijos "gyvenimo" periodą iki pat apmokėjimo (išpirkos) momento. Vertybinių popierių rinkoje įdėjimo norma tiesiogiai nedalyvauja - tai išvestinis skaičiuojamasis dydis, kurį galima nustatyti tik atsižvelgiant į obligacijos kainą, kurią sutinka sumokėti investitorius, įvertindamas obligacijos kuponinį pelningumą.

Panagrinėsim pelningumo nustatymo rodiklių metodiką skirtingoms obligacijų rūšims tokiu eiliškumu, kokiu jie išvardinti anksčiau. Pažymėsim, kad bet kurios rūšies obligacijų pilno pelningumo nustatymo metodikos pagrindas yra obligacijos savininko gaunamų srautų dabartinės vertės nustatymas.

Prieš pradedant konkrečių skaičiavimo metodų nagrinėjimą įvesime sąvokos "rinkos kaina" vieną patikslinimą. Reikalas tame, kad obligacijos realizuojamos pilna arba, kaip kartais sakoma, "purvina kaina" (full, gross, dirty price). Pastaroji įskaito ne tik nuosavą obligacijos rinkos kainą, bet ir tas palūkanas, kurios obligacijai priskaičiuojamos už per laikotarpį nuo paskutinio palūkanų išmokėjimo iki pardavimo momento (accirued interest). Rinkos kaina neįtraukianti įšių palūkanų sumos vadinama švaria kaina (clean, flat price). Visuose pateiktuose žemiau skaičiavimuose figūruoja būtent ši kaina, jei nėra aptarta kita.

Obligacijos be būtino apmokėjimo su periodišku palūkanų išmokėjimu. Nors panašaus pobūdžio obligacijos sutinkamos ypatingai retai, susipažinti su jomis būtina, norint gauti pilnos sistemos supratimą apie įdėjimo normos įvertinimo metodiką. Pajamos iš tokios rūšies obligacijų gaunamos tik palūkanų pavidalu. Kadangi nominalas gali būti išmokamas labai tolimoje ateityje, į jį skaičiavimuose atsižvelgti nereikia. Periodinės pajamos lygios g ´ N (jei palūkanos išmokamos vieną kartą metuose) arba g ´ N/ p (jei jos išmokamos p kartų metuose), kur g - paskelbta metinė obligacijos pelningumo norma. Palūkanų išmokėjimai duotoj situacijoj išreiškia begalinę rentą. Šios rentos dabartinį didumą prilyginsim jos bendrai kainai, ir diskontuosim pagal įdėjimo normą i:

P = g ´ N/ I.

Nustatysim obligacijos kainą per jos kursą:

(9.2)

Jei palūkanos išmokamos kasmet:

(9.3)

Jei palūkanos išmokamos p kartų metuose, tai:

(9.4)

9.1 pavyzdys. Begalinė renta, duodanti 4,5% pajamų, nupirkta pagal kursą 90. Koks tikras investicijų efektyvumas, jei palūkanos išmokamos kartą metuose?

i = 0.045 ´ 100/90 = 0.05,

Tegul palūkanos išmokamos kas ketvirtį, tada p = 4 ir

Keletas žodžių apie duotos obligacijų rūšies einamąjį pelningumą. Jis randamas kaip metinių pajamų ir investicijų sumos santykis, iš čia:

(9.5)

t.y. einamasis pajamingimas lygus įdėjimo normai (9.3). Tai ir suprantama, kadangi pelningumui yra tik vienas šaltinis - tai palūkanų išmokėjimas.

Obligacijos be palūkanų išmokėjimo. Duota obligacijų rūšis investitoriui užtikrina vienos rūšies pajamas - t.y. skirtum1 tarp obligacijos išpirkimo kainos (paprastai tai nominalas) ir įsigijimo kainos. Prilyginus nominalo diskontuotą didumą obligacijos kainai, nesunku rasti, kad:

N ´ vⁿ =P iš čia

tada (9.6)

kur

P_k - kursas, pagal kurį nupirkta obligacija;

duotai obligacijų rūšiai P_k < 100;

n - laikotarpis nuo įsigijimo momento iki obligacijos išpirkimo momento.

9.2 pavyzdys. Korporacija "Pepsico Capital Corporation" išleido obligacijas be palūkanų išmokėjimo (išleista 1981 m., apmokėta 1984 m.) už 75 mln.dol. sumą. Kursas, pagal kurį buvo realizuojama obligacija, buvo lygus 67,5. Tokios obligacijos pelningumas(įdėjimo norma) bus:

Obligacijos su palūkanų išmokėjimu termino gale. Duotos obligacijų rūšies kursas gali nukrypti į bet kurią pusę nuo 100. Palūkanos priskaičiuojamos ir išmokamos termino gale vienkartine suma (lump sum). Pajamos šiuo atveju turi du šaltinius: t.y. palūkanas už visą paskolos laikotarpį ir kapitalo prieaugį (nominalo ir pirkimo kainos skirtumas). Nustatant ieškomą dydį i remiamės tokiais samprotavimais. Termino pabaigoje obligacijos savininkas gaus nominalą su palūkanomis, todėl šį dydį diskontuojame ir prilyginame jį įsigijimo kainai:

kur vⁿ = (1 + i)^{- n} - normos i diskontinis daugiklis.

Išsprendę lygybę randam:

(9.7)

Jei obligacijos kursas žemesnis nei 100, tai i > g ir, atvirkščiai, kai P_k > 100 (obligacija įsigyjama su premija), i < g.

9.3 pavyzdys. Obligacija realizuota pagal kursą 95, terminas 8 metai. Numatomas palūkanų priskaičiavimas pagal 5% normą. Įdėjimo norma, kai palūkanos ir nominalas apmokami termino gale, bus:

Dabar tarkim, kad obligacija nupirkta pagal kursą 105, tada i = 0.04362.

Obligacijos su periodiniu palūkanų iš mokėjimu, apmokamos termino gale. Nesunku įsitikinti, kad visos anksčiau išnagrinėtos obligacijos yra atskiri atvejai duotos obligacijų rūšies, kuri labiausiai paplito praktikoje. Suminės pajamos iš duotos rūšies obligacijų paskolos susideda iš dviejų elementų - einamųjų pajamų (realizuojamų kuponų pagalba - kuponinės pajamos) ir pajamų, gaunamų obligacijos termino pabaigoje. Būtent tokiai obligacijai galima gauti visus tris pelningumo rodiklius, apie kuriuos buvo minėta anksčiau. Prie kuponinio pelningumo nesustosim - jo lygis akivaizdus. Kas liečia einamąjį pelningumą, tai jį lengva nustatyti taip:

(9.8)

kur g - kuponų pelningumo norma;

N - obligacijos nominalo kaina;

P_k - kursas įsigijimo momentu.

Jei išmokėjimas pagal kuponus atliekamas p kartų metuose (dažniausiai du kartus), kiekvieną kartą pagal normą g/p, tai formulė (9.8) duoda šiek tiek mažesnį rezultatą, kadangi ji neatsižvelgia į gautų palūkanų išraiška lėšų reinvestavimo galimybę. Tačiau praktikoje skai čiavimas atliekamas pagal formulę (9.8).

Kaip jau buvo pažymėta, einamojo pelningumo norma yra kaip rodiklis, kuris faktiškai neduoda supratimo apie realų pelningumą, tai tik pirmas priartėjimas prie jo, nes, skaičiuojant šį rodiklį nepaisoma skirtumo tarp obligacijos pirkimo kainos ir nominalo, kuris (nominalas) gali realiai paaukštinti arba pažeminti obligacijos įsigijimo efektyvumą. Įdėjimo norma atsižvelgia į visų rūšių pajamas iš obligacijos. Jos nustatymo pagrindas yra diskontuotų įplaukų iš obligacijos ir įsigijimo kainos lygybė. Obligacijai su periodišku palūkanų išmokėjimu (kartą metų gale), ir jos nominalo apmokėjimu termino gale esant sąlygai, kad obligacijos pirkimas vyksta jos išleidimo momentu, gausim:

P = N (1 + i)^{- n}+ N g a_{n; i}, (9.10)

iš kur:

P_k = ((1 + i)^{- n}+ g a_{n; i}, ) 100 (9.11)

Atitinkamai, jei obligacija numato palūkanų išmokėjimą kas pusmetis arba kas ketvirtį,

P_k = ((1 + i)^{- n}+ g a⁽²⁾_{n; i}, ) 100 (9.12)

P_k = ((1 + i)^{- n}+ g a⁽⁴⁾_{n; i}, ) 100 (9.13)

i reikšmę randam iš formulių (9.10) - (9.13) kokiu nors priartėjimo būdu, pavyzdžiui, interpoliacijos keliu.

Linijinės interpoliacijos formulė duotu atveju:

(9.14)

i radimui numatome tam tikras i' ir i'' reikšmes, apribojančias intervalą, kurio ribose, kaip laukiama, yra tikroji normos i reikšmė. Reikšmės i' ir i'' išrenkamos atsižvelgiant į tai, kad i>g, jei P_k < 100. Šių normų pagrindu pagal formules (9.11) - (9.13) išskaičiuojamos atitnkamos P_k ' ir P_k '' reikšmės. Po to iš formulės (9.14) randame ieškomą i reikšmę. Reikšmė i, gauta interpoliacijos būdu, visada didesnė už tikslią.

Interpoliavimo formulė (9.14) teisinga ir tuo atveju, kada obligacija parduodama ne su diskontu, o su premija. Čia, beja, i' ir i'' reikšmės išrenkamos atsižvelgiant į tai, kad i < g.

9.4 pavyzdys. Obligacija su 5 metų terminu, pagal kurią palūkanos išmokamos vieną kartą metų gale pagal 8% normą, nupirkta pagal kursą 97. Reikia rasti obligacijos pelningumą.

Rasim du pelningumo rodiklius:

1) einamasis pelningumas i_m = 8/ 97 = 0.08247;

2) pilną pelningumą nustatysime interpoliacijos pagalba.

Kadangi P_k < 100 taigi, 0.0825 < i. Interpoliacijai priimsim tokias normas i¢ = 0.085 ir i'' = 0.095. Iš formulės (9.11):

P_k' = (1.095^-5+ 0.08 ´ a_{5; 8.5}) 100 = 98.03 ir

P_k'' = (1.095^-5+ 0.08 ´ a_{5; 9.5}) 100 = 94.24.

Tada:

i = 8.5 + (98.03 - 97)(9.5 - 8.5)/(98.03 - 94.24) = 8.77.

Patikrinimui rasime obligacijos skaičiavimo kursą, kai įdėjimo norma lygi 8.77%, gausim:

P_k = (1.0877^-5 + 0.08 ´ a_{5; 8.77}) 100 = 96.99.

Kaip matom rezultatas artimas kursui, pagal kurį obligacija parduota.

Dabar tarkime, kad obligacija nupirkta pagal kursą 95 ir palūkanos pagal ją išmokamos du kartus metuose, tada, taikydami tą pačią metodiką gausim i = 9.49%.

Ieškomo rodiklio tikslią reikšmę, tiksliau, jo reikšmę su nurodytutikslumo laipsniu, galima gauti kokios nors iteracinės procedūros pagrindu, tame tarpe Niutono - Rafsono metodo pagalba. Kai kurios vyriausybės praktiniuose finansiniuose skaičiavimuose, greitam finansiniam įdėjimo normos įvertinimui rekomenduojami supaprastinti metodai, pagal kuriuos ieškomą įvertinimą galima gauti, palyginant metinės obligacijos pajamas su vidutine jos kaina. Pastaroji nustatoma nominalo ir obligacijos įsigijimo kainos pagrindu. Tokiu būdu, obligacijai, įsigytai su diskontu, turėsim:

,

ir obligacijai, nupirktai su premija,

kur n - metų, likusių iki apmokėjimo, skaičius;

g - metinės kuponinės pajamos.

Būtina pažymėti, kad rezultatas, gaunamas pagal šias formules, gali žymiai skirtis nuo tikslaus.

9.5 pavyzdys. 9.4 pavyzdžio duomenims randame:

Šio parametro tiksli reikšmė 8.77.

Praktikoje retai, bet vistik sutinkami atvejai, kada išpirkimo kaina skiriasi nuo nominalo. Šiuo atveju palūkanos skaičiuojamos nominalo sumai, o kapitalo prieaugis lygus skirtumui C - P, kur C - išpirkimo kaina. Atitinkamai, nustatant įdėjimo normą, būtina įnešti pakeitimus į formulę (9.10), po ko:

P = C(1 + i)^-n+ N´ g´ a_{n; i}. (9.15)

9.6 pavyzdys. Reikia išrinkti, orientuojantis į įdėjimo normą, vieną iš dviejų obligacijų rūšių skirtingomis sąlygomis - žr. 9.1 lent.

9.1 lentelė

Pirmos obligacijos išleidimo sąlygos paimtos iš ankstesnio pavyzdžio. Einamojo pelningumo norma ir įdėjimo norma tokai obligacijai lygios 8 ir 8.77%. Rasime atitinkamus įvertinimus antrai obligacijai. Einamojo pelningumo norma bus (12/120) 100 = 10%. Kas liečia įdėjimo normą, tai jai apskaičiuoti užrašysime lygybę:

120 = 110 (1 + i) ^-6+ 12 a_{6; i}.

i įvertinimui pritaikysim interpoliacinę formulę. Tegul i' = 8.5%, i'' = 10%. Tada P_k' = 122.21, P_k'' = 114.35 ir

i = 8.5 + (122.21 - 120)(10 - 8.5)/(122.21 - 114.25) = 9.92%.

Kaip matome, antros obligacijos pranašumas ne toks jau žymus, jei lyginant remiamasi daugiausia įdėjimų norma.

Anksčiau, skaičiavimuose ieškant įdėjimo normos, buvo priimta, kad obligacija perkama jos išleidimo momentu. Tai svarbus atskiras atvejis. Tačiau dažnai obligacijos nuperkamos praėjus tam tikram laikui po jų išleidimo. Jei obligacija įsigyjama palūkanų išmokėjimo momentu, tai visi išvardinti anksčiau skaičiavimo metodai išsaugo savo galią, tačiau n suprantamas kaip laiko tarpas, likęs iki obligacijos išpirkimo. Tokiu atveju, kai obligacija perkama momentu tarp dviejų išmokėjimų pagal kuponus, pateiktos formulės duos šiek tiek iškreiptus įvertinimus.

4. Paplidoma informacija apie obligacijų pelningumo įvertinimą

Obligacijos pelningumas, išreikštas paprasta palūkanų norma. Kaip alternatyvą metinei sudėtingai palūkanų normai realaus pelningumo rodikliu kartais imama paprasta įdėjimo norma:

kur g - obligacijos einamosios pajamos procentais.

Obligacijos pelningumo rodiklių palyginimas

Tarp einamojo pelningumo ir įdėjimo normų, išreikštų sudėtinga ir paprasta palūkanų norma, egzistuoja tokie santykiai: jei obligacija įsigyta su premija (kursas didesnis nei 100), tai g > i_m > i > i_ep; jei obligacija įsigyta su diskontu (kursas žemesnis nei 100), tai g< i_m < i < i_ep.

9.7 pavyzdys. 9.4 pavyzdžio obligacijos pelningumas, išreikštas paprasta norma, bus:

Tokiu būdu, einamasis obligacijos pelningumas lygus 8%, įdėjimo norma - 8,77% (sudėtingos palūkanos) ir 8.86% (paprastos palūkanos).

Obligacijų pelningumo lentelės. Greitai investitorių orientacijai, norint įvertinti obligacijų su skirtingais rinkos kursais ir palūkanų mokėjimais efektyvumą, sudaromos specialios lentelės, kurios publikuojamos taip vadinamose pelningumo knygose (Yield book). Lentelėse pateikiamos i reikšmės plačiam dydžių n, g ir P_k diapazonui. Lentelės yra dviejų rūšių. Vienam variante pagal užduotą kursą, terminą iki apmokėjimo ir kuponinę normą randama įdėjimo norma, kitam - pagal užduotus įdėjimo normos ir kitus obligacijos parametrus nustatomas reikalingas kursas. Žemiau iliustracijai pateikiamos lentelės dviem kuponinės normos lygiams (g = 5 ir 10%), su sąlyga, kad palūkanos išmokamos vieną kartą metuose.

Obligacijų pelningumas (g=5%)

9.2 lentelė

Obligacijų pelningumas (g=10%)

9.3 lentelė

Paskolos vertė skolininkui. Anksčiau ilgalaikių paskolų pelningumas buvo vertinamas iš investoriaus pozicijų. Paskolos davėjui lėšų pritraukimas paskolos pagalba operacija (pavyzdžiui, obligacijų išleidimo ir pardavimo keliu) vertinama išvisiškai priešingos pozicijos - skolininkas turi žinoti, kokia lėšų pritraukimo kaina. Jei, organizuodamas paskolą, paskolos davėjas neturi jokių išlaidų (rinkliavų, mokesčių, komisinių išmokėjimo), tai ieškoma kaina lygi įdėjimo normai. Tačiau tokios išlaidos praktiškai neišvengiamos, todėl jos truputį sumažina sumą, gaunamą realizuojant paskolą. Paskolos kaina, išreikšta metine sudėtinga palūkanų norma, šiuo atveju gali būti surasta naudojant pateiktas anksčiau įdėjimo normos formules, tik išobligacijos kurso išskaičiuojant tam tikrą išlaidų vertę (skaičiuojant 100 nominalo piniginių vienetų).

9.8 pavyzdys. 9.4 pavyzdyje įdėjimo norma išmokant palūkanas kartą metuose lygi 8,77%. Rasim kredito sumą skolininkui esant sąlygai, kad jo išlaidos susijusios su paskolos organizavimu sudarė 1% nominalo. Šiuo atveju vietoj P_k = 97 skaičiavimuose naudosime P_k = 96. Gausim:

i = 8.5 + (98.03 - 96)(9.5 - 8.5)/(98.03 - 94.24) = 9.03%.

Tokiu būdu paskola skolininkui atsieina už kainą 9.03%, o be papildomų išlaidų jos kaina 8.77%.

Pelningumas įskaitant mokesčius. Iki šiol mes nekreipėme dėmesio į pajamų, kurias duoda obligacijos, mokesčius. Išvystyto įstatymų apie pajamų išvertybinių popierių apmokęstinimą paketo nebuvimas neleidžia aptariant šią problemą remtis tėvynine patirtimi. Daugelyje šalių pajamų mokesčių normos diferencijuojamos pagal vertybinių popierių rūšis. Mažiausi mokesčiai - pajamoms išvalstybinių ir municipalinių vertybinių popierių, pajamoms iškomercinių organizacijų vertybinių popierių didesni. Paprastai mokesčių normos skiriasi pagal apmokestinamą pajamų šaltinį. Pajamų (pelno) mokesčiu apdedamos paprastai tik kuponinės pajamos. Kapitalo prieaugio mokestis (capital gains), (t.y. turto pelningumo mokestis) dažnai nustatomas pagal kitą normą. Mokesčių normų lygis daugelyje šalių priklauso nuo investitoriaus kategorijos. Pavyzdžiui, pensijiniai fondai, kurie atstovauja svarbiausius investitorius į vertybinius popierius, kaip taisyklė, atleidžiami nuo mokesčių mokėjimo.

Grynasis pelningumas(net yield), atsižvelgiant į mokesčių išmokėjimą nustatomas tokiais pat metodais, kaip ir neatsižvelgiant į šį faktorių. Skirtumas tik toks, kad mokėjimų srautas, kurio pagrindu skaičiuojama įdėjimo norma, susideda išgrynųjų pajamų rodiklių. Todėl grįšim prie formulės (9.10) ir sukonkretinsim ją, įvesdami dvi mokesčių normas:

(9.17)

kur

m - kapitalo prieaugio mokesčio suma;

l - pajamų norma einamoms pajamoms;

v = (1 + y)^{- n} - normos y diskontinis daugiklis;

y - įdėjimo norma, atsižvelgiant į mokestį.

Padalinsime (9.17) į N ir įvykdę eilę pertvarkymų, gausim:

(9.18)

Dabar tarkim, kad kapitalo prieaugio mokestis neįmamas, tada vietoj (9.10) ir (9.11) bus:

(9.19)

(9.20)

9.9 pavyzdys. Vėl grįšime prie 9.4 pavyzdžio ir paskaičiuosime įdėjimo normą esant sąlygai, kad kuponinės pajamos apdedamos mokesčiu pagal 20% normą, o kapitalo prieaugiui - 28% palūkanų norma. Netto įdėjimo normą - rasime, išsprendę kokiu nors metodu tokią lygybę:

y atžvilgiu. Gausim y = 6.985%. Einamojo pelningumo gryna norma šiuo atveju, matyt, bus 0.8 ´ 0.08 = 0,064 arba 6.4%.

Dabar tarkim, kad kapitalo prieaugiui mokestis nededamas, tada iš (9.20) lygybės gausim y = 7.974%.

Tam, kad mokesčių įtakos pelningumui mechanizmas būtų aiškesnis, įplaukas išobligacijų pateiksim kaip mokėjimų, atsižvelgiant į mokesčius, srautą (žr. 9.4 lent.).

Obligacijos mokėjimo srautai (g = 8%, P_k = 97)

9.4 lentelė

Pirmaisiais keturiais metais mokami tik mokesčiai už einamąsias pajamas. Penktais metais mokamas šis mokestis ir mokestis kapitalo prieaugiui, kuris lygus (100 - 97)´ 0.28=0.84. Išviso mokesčių suma tais metais lygi 1.6+0.84=2.44. Grynųjų pajamų diskontavimas atliekamas pagal įdėjimo normą. Grynųjų pajamų diskontuotų rodiklių suma lygi 97, t.y. kursui, pagal kurį įsigyta obligacija.

Praktikoje grynasis pelningumas kartais nustatomas priartėjimo metodu pagal įdėjimo normą, neįskaitančią mokesčių:

y = g(1 - l) + (i - g) ´ (1 - m). (9.21)

Šis vertinimas duoda priimtinus rezultatus. Jis susideda išdviejų elementų - einamųjų pajamų, pakoreguotų pagal mokesčių sumą ir “likučio” nuo įdėjimo normos, pakoreguoto pagal savo mokesčių normą.

9.10 pavyzdys. Rasime priartėjimo metodu įdėjimo normą obligacijai iš 9.9 pavyzdžio, atsižvelgdami į mokesčius.

y = 8(1 - 0.2) + (8.77 - 8) ´ (1 - 0.28)=6.954%. (9.21)

Priminsime, kad tiksli reikšmė lygi 6.985%. Klaida, kaip matome, paaiškėjo tik antrame skaičiuje.

5. Pajamų išobligacijų gavimo charakteristikos ir rizikos įvertinimas

Pagrindinis parametras, į kurį kreipiamas dėmesys investuojant lėšas į obligacijas, yra pelningumas. Tačiau pelningumo rodiklių nepakanka pagrįstam obligacijos rūšies pasirinkimui. Būtina žinoti, kaip ilgai obligacijos savininkas turės išjos finansinę naudą, kadangi, kuo ilgesnis terminas, tuo didesnė rizika. Tačiau obligacijos terminas, tiksliau, periodas nuo jos nupirkimo iki apmokėjimo, neatsižvelgia į skirtingų obligacijų rūšių pajamų paskirstymo laike ypatybes, taip vadinamą “pajamų profilį”. Aišku, kad obligacijos su nuliniu kuponu rizika bus didesnė, nei obligacijos su pastoviais mokėjimais pagal kuponus, net esant vienodam bendram terminui. Obligacijų (kaip ir kitų rūšių ilgalaikių vertybinių popierių su fiksuotomis pajamomis) charakteristikai šiuo požiūriu skaičiuojami įvairūs rodikliai.

Vidutinis terminas. Šis rodiklis (average life) apibendrina visų pagal obligaciją mokėjimo terminus, išreikštus vidutiniu aritmetiniu dydžiu. Svertais čia imami mokėjimų didumai. Kitaip sakant, kuo didesnė mokėjimo suma, tuo didesnę įtaką vidutiniam aritmetiniam dydžiui daro jo terminas. Jei kuponai apmokami kasmet, tai:

(9.22)

kur:

t_j = 1, ...; n - mokėjimų pagal kuponus terminai, metais;

S_j - mokėjimo suma;

T - vidutinis obligacijos terminas.

T skaičiavimą galima atlikti naudojant (9.22) formulę, surašius visus mokėjimus ir nurodžius jų terminus. Tačiau galima paskaičiuoti ieškomą parametrą ir be šito, kadangi:

tai gausime:

(9.23)

Vidutinis terminas T visada mažesnis už n (jei g>0). Jei g=0 (obligacijos su “nuliniu kuponu”), tai T=n. Kuo didesnės einamosios obligacijos pajamos N atžvilgiu, tuo mažesnis T ir, vadinasi, mažesnė rizika, susijusi su duotos obligacijų rūšies investicija.

(9.22) formulė numato, kad išpirkimas vyksta pagal nominalą. Tuo atveju, kai obligacija apmokama pagal išpirkos kainą C, besikeičiančią nuo nominalo, turėsime:

Jei kuponai išmokami kas pusmetį, tai vietoj (9.22), gausime:

(9.24)

Priminsime, kad n - bendras obligacijos terminas. Kadangi šiuo atveju

tai vidutinis obligacijos terminas, kai kuponai išmokami kas pusmetį, randamas taip:

(9.25)

9.11 pavyzdys. Nustatysime vidutinį terminą obligacijai iš9.9 pavyzdžio. S t_j S_j skaičiavimas pateiktas šioje lentelėje.

T = 620/ 140=4.43 metų.

Skaičiavimas pagal (9.23) formulę, suprantama, duoda, tą patį rezultatą. Jei procentai mokami du kartus per metus, tai naudojame (9.25) formulę:

(9.25)

Kaip matome, palūkanų apmokėjimų skaičiaus pateikimas šiek tiek sumažino obligacijos vidutinį terminą.

Vidutinė mokėjimų trukmė. Pastaruoju metu, investitorių praktikoje, įvertinant vertybinius popierius, įsitvirtino specialus rodiklis, gavęs pavadinimą “kaita” (violatility) arba “trukmė” (duration). Pirmas išpateiktų pavadinimų, tikriausiai, susijęs su obligacijos kainos kaita, keičiantis palūkanų normai. Antras - su tuo, kad jis išreiškia vidutinį mokėjimų pagal obligaciją terminą. Šio rodiklio skirtingumas nuo vidutinio obligacijos termino T glūdi svertų sistemoje. Svertais čia imamos ne mokėjimų sumos, o jų diskontuoti didumai. Pavadinsime jį vidutine mokėjimų trukme ir pažymėsime simboliu D.

Tegul palūkanos išmokamos kasmet, tada pagal apibrėžimą:

kur v - rinkos normos diskontinis daugiklis.

Padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš N, ko pasekoje gausime:

(9.26)

Galima įrodyti, kad (9.26) formulėje figūruojanti suma skaičiuojama taip:

(9.27)

Šios formulės panaudojimas leidžia apsieiti be eilės diskontinių daugiklių skaičiavimo ir kiekvieno mokėjimo diskontavimo atskirai.

Atvejis, kada g>0, visada turi vietą nelygybė D<T, be to, kuo ilgesnis obligacijos terminas, tuo daugiau vidutinė įplaukų trukmė skiriasi nuo obligacijų termino.

9.12 pavyzdys. Nustatysime vidutinę įplaukų trukmę 9.3 pavyzdžio obligacijai. Priminsime, kad palūkanų norma čia lygi 8.77%. Rodiklį D rasime, pasverdami diskontuotų mokėjimų sumas. Tam paskaičiuosime

Tokiu būdu:

Skaičiavimui pagal (9.27) formulę randame:

a_{5; 8, 77} = 3.91297

Jei kuponiniai mokėjimai vyksta kas pusmetį, tai ir šiuo atveju galima pasinaudoti (9.26) formule, kurioje t reikštų pusmečio numerį, o v - dvigubai sumažintos normos diskontinį daugiklį. Gauta skaičiuojamoji D reikšmė parodys vidutinę mokėjimų pusmečiuose trukmę.

Modifikuota vidutinė mokėjimų trukmė. Išrodiklio D nustatymo ir pateiktų formulių seka, kad šis rodiklis daugiausia atsižvelgia į mokėjimų paskirstymo laike specifiką - augant paskolos palūkanų lygiui, labiau nutolę mokėjimai turi vis mažesnį svorį, atitinkamai krenta dydis D, tuo tarpu vidutinio termino didumas nepriklauso nuo rinkos normos pasikeitimo. Tačiau vargiai įplaukų vidutinė trukmė patrauktų tokį didelį finansinių analitikų dėmesį, jei ji būtų tik mokėjimų termino matavimo priemonė. Svarbiausia jos paskirtis - obligacijos kainas jautrumo nustatymas esant nežymiai palūkanų normos lygio dinamikai piniginėje rinkoje. Šios problemos išsprendimui, naudojamas ne dydis D, o jo modifikacija:

(9.28)

kur

D - įplaukų vidutinė trukmė;

i - rinkos palūkanų norma;

p - palūkanų išmokėjimų skaičius metuose.

Rodikliui MD duosime modifikuotos kainos kitimo pavadinimą (užsienyje jį paprastai vadina modified duration).

Galima parodyti, kad MD yra kainos elastingumo palūkanų normai rodiklis. Tegul norma rinkoje pasikeis dydžiu i. Atitinkamas kainos pasikeitimas bus:

D P = - 0.01 ´ M ´ D ´ D iP. (9.29)

9.13 pavyzdys. Obligacijos įdėjimo norma 9.4 pavyzdyje lygi 8.77%. Vidutinės kainos rodiklis lygus 4.3, iš kur:

Kokį kainos pasikeitimą duos rinkos palūkanų normos išaugimas nuo 8.77 iki 8.9%? Pagal (9.29) formulę surandame:

D P = - 0.01 ´ 3.95 ´ 0.13 ´ 97= - 0.5,

t.y. laukiama kainos reikšmė 97 - 0.5 = 96.5.

“Išgaubtumas” (“iškilumas”). Dvi obligacijos su vienodu pilnu pelningumu ir įplaukų vidutinės trukmės rodikliu (kainos reakcija į nedidelius palūkanų normos pasikeitimus), gali skirtis pagal kainos reakciją į didelius normos pasikeitimus. Obligacijos tyrimas šiuo atžvilgiu įgyvendinamas pasinaudojant rodikliu, kuris gavo truputį keistoką ekonomikos rodikliui pavadinimą - gaubtumas (iškilumas) (convexity). Šis rodiklis gana sudėtingas ir savo turiniu (jis išreiškia komplikuotą obligacijos kainos elastingumo rodiklio palūkanų normai variantą), ir savo apskaičiavimu. Be to, tikriausiai, dar negalima kalbėti apie jo platų pritaikymą praktikoje. Todėl apsiribosim tokiomis žiniomis.

Skaičiavimas atliekamas pagal formulę:

(9.30)

kur M² - mokėjimo laiko rodiklių dispersija.

Likusieji simboliai turi tas reikšmes kaip anksčiau. Reikalingą dispersijos dydį randame taip:

(9.31)

Kaip jau buvo kalbėta anksčiau, rodiklis C_x leidžia nustatyti obligacijos kainos poslinkius priklausomai nuo didelių palūkanų normos poslinkių.

(9.32)

9.14 pavyzdys. 9.4 pavyzdžio obligacijai buvo gautos tokios charakteristikos:

i=8.77%, D=4.3, MD=3.95.

Apskaičiuosime laiko rodiklio dispersijos didumą, išanksto nustatę:

Dabar galime apskaičiuoti C_x:

Tarkime, laukiamas rinkos palūkanų normos augimas iki 11%. Kaip šiuo atveju pasikeis obligacijos kaina?

Tokiu būdu, normos išaugimas 2.23%, iššauks rinkos kainos nukritimą nuo 97 iki 89.

6. Obligacijų portfelis

Portfelis (rinkinys), apimantis skirtingų rūšių ir terminų obligacijas, taip pat yra kiekybinės analizės objektas. Paprasčiausia analizė apsiriboja portfelio pilno pelningumo ir vidutinio mokėjimų trukmės rodiklio įvertinimo analize. Sudėtingesnė - optimalios portfelio struktūros nustatymu, tyrimu ir įvykdymu tokios strategijos formuojant portfelio struktūrą, kuri užtikrintų garantuotą mokėjimų srautą (immunization). Paskutinės išvardintos analizės kryptys reikalauja savarankiško peržiūrėjimo, kuris neįeina į šios knygos rėmus.

Portfelio pelningumas nustatomas metinės sudėtingo palūkanų normos pagrindu. Ši norma randama įvairių metodų pagalba. Tiksliausiai galima nustatyti išsprendžiant lygybę, kurioje obligacijų bendra vertė prilyginama visų rūšių mokėjimų dabartinių dydžių sumai:

Dydis S Q_j P_j charakterizuoja portfelio dydį pagal įsigijimo kainą, S S_t v_t - visų obligacijos įplaukų dabartinių dydžių suma, kai įplaukos nustatomos pagal ieškomą i normą.

čia

S_t - mokėjimų srauto dalis momentu t,

Q_j - j rūšies obligacijų kiekis;

P_j - obligacijos įsigijimo kaina;

v - normos i diskretinis daugiklis.

Reikšmė i randama interpoliacijos pagalba arba kokiu nors iteraciniu metodu.

Priartėjimo metodai apima vidutinį pasvertų įdėjimo normų skaičiavimą. Svertai nustatomi dviem būdais. Pagal pirmą, svertais imama obligacijų vertė pagal įsigijimo kainas, tada:

(9.32)

Laikoma, kad gaunama mažesnė paklaida, kai svertais imama vidutinės obligacijos trukmės rodiklių ir obligacijos įsigijimo vertės sandauga, tada:

(9.33)

9.15 pavyzdys. Portfelis, įsigytas už 355 tūkst. Lt, sudarytas išobligacijų su tokiais parametrais:

9.5 lentelė

Pateiktų duomenų pagrindu suformuosime mokėjimų srautą (9.5 lent., 2 stulpelis). Tada rasime mokėjimo dydį kiekvieno pusmečio pabaigoje. Laikas metais čia: 0.5; 1; 1.5 ir t.t. Mokėjimo dydis pirmame pusmetyje lygus tik C tipo obligacijų palūkanoms, pirmų metų pabaigoje - A ir B tipo obligacijų palūkanų sumai, ketvirtų metų pabaigoje - C tipo obligacijų palūkanų ir nominalo apmokėjimo vertės sumai.

Kadangi laukiama vidutinės įdėjimo normos reikšmė yra tarp 8 ir 9%, apskaičiuosime atitinkamus diskontinius daugiklius - 3 ir 4 stulpeliai. 5 ir 6 stulpeliuose pateikti mokėjimų srautų narių diskontuoti dydžiai.

Pagal interpoliacinę formulę (9.14), kurioje P_k, pritaikę obligacijų kainų sumą, rasime:

Patikrinimas: pagal šią normą diskontuotų mokėjimų suma bus 344850 Lt. Tolesnis vertės tikslinimas duoda i=8.47%, tada kontrolinė suma lygi 355000 Lt.

9.16 pavyzdys. Rasime 9.15 pavyzdžio obligacijų portfelio apytikrius pelningumo rodiklius. Obligacijų pelningumas metinės sudėtingų palūkanų normos pavidalu, atitinkamai lygūs 9.3; 6.59 ir 9%.

Pritaikę apytikslę (9.32) formulę, gausime:

Atsakymas žymiai skiriasi nuo tikslaus (8.47%). Tam, kad pritaikyti formulę (9.33), reikia rasti vidutinės mokėjimų trukmės rodiklius kiekvienai obligacijos rūšiai. Rasime juos pagal (9.26) formulę: 4.2; 8 ir 3.47 metų. Šiuo atveju obligacijų portfeliui gausime:

Atsakymo paklaida šiek tiek mažesnė nei gautam pagal (9.32) formulę.

Kintamumo rodiklis (vidutinės mokėjimų trukmės) obligacijų portfeliui nagrinėjamas ne tik kaip vienas išsvarbiausių netiesioginių rizikos rodiklių, bet, svarbiausia, kaip indikatorius portfelio “elgesio” įvertinimui, keičiantis palūkanų lygiui rinkoje. Atsižvelgiant į tai, patariama tikslingai keisti portfelio struktūrą, norint pasiekti pageidaujamą kintamumo rodiklio reikšmę (duration management).

Obligacijos portfelio kintamumas (vidutinė mokėjimų trukmė) randamas kaip vidutinis dydis:

(9.34)

9.17 pavyzdys. 9.15 pavyzdžio obligacijų portfeliui rasime vidutinę mokėjimų trukmę:

7. Paskolų ir obligacijų vertinimas

Bendras vertinimo principas. Paskolų vertinimas išreiškia vieną ir svarbiausių kiekybinės finansinės analizės rūšių, turinčių skirtingus praktinius priedus. Be to, nežiūrint obligacijos įvertinimo metodų, negalima surasti vertybinių popierių portfelio, korporacijų aktyvų vertinimo principų ir t.t. Paskolų vertinimas glūdi obligacijų pajamų kapitalizacijoje ir susiveda prie pinigų sumos, kuri duotu laiko momentu ekvivalentiška finansiniu atžvilgiu pačiai paskolai nustatymo, įskaitant jos terminą, pelningumą ir priimtiną įvertinimo metu palūkanų normą (įdėjimo normą). Kadangi paskolos dažniausiai realizuojamos išleidžiant ir parduodant obligacijas, tai paskolos įvertinimo užduotį panagrinėsime taikydami prie obligacijos įvertinimo. Praktiškai vertinimo metode niekas nesikeičia, jei paskola nenumato jų išleidimo.

Obligacijos arba kitokios paskolos formos įvertinimą įvykdysime išinvestitoriaus pozicijų. Tam vertinimo rezultatu laikysime sumą, ekvivalentinę finansiniu atžvilgiu visoms obligacijos įplaukų didumui, esant tam tikrai užduotai palūkanų normai, kuri bendru atveju skiriasi nuo kuponinės pelningumo normos, nurodytos obligacijoje.

Nesunku įsitikinti tuo, kad obligacijos vertinimo užduotis atvirkščia jos pelningumo nustatymui. Jei pastaroji apima įdėjimo normos pagal užduotą rinkos obligacijos kainą skaičiavimą, tai pirmoji - skaičiavimą kainos, kuri atitinka tam tikrą rinkos pelningumo normą ir paprastai patenkina investitorių. Tokiu būdu, obligacijos įvertinimas duoda tam tikra prasme sąlyginį rezultatą. Tai, kas atrodo svarbesniu, esant vienokiam normos lygiui, gali pasirodyti visai betiksliu, esant kitokiam. Bendrai, ir tai parodyta žemiau, kuo aukštesnė norma, tuo mažesnė obligacijos vertė.

Dabar nustatysime skirtingų rūšių obligacijų vertinimo kainą.

Obligacijos be būtino apmokėjimo su periodiniu palūkanų išmokėjimu. Tokios obligacijos palūkanų periodiškus išmokėjimus galima nagrinėti kaip begalinę rentą. Obligacijos vertinimas susiveda prie duotos rentos dabartinės kainos nustatymo, t.y.:

kur

R - periodiškai išmokamos pajamos;

i - palūkanų norma.

Kadangi R = g ´ N, tai:

(9.34)

Savo ruožtu tokios obligacijos kursas bus:

(9.35)

Tokiu būdu, obligacijos kursas tiesiogiai proporcingas pelningumo normai ir atvirkščiai proporcingas palūkanų normai.

Jei obligacijos pajamos išmokamos p kartų metuose, tai:

(9.36)

(9.37)

9.18 pavyzdys. Tegul obligacija be paskelbto termino arba kitas pastovių pajamų šaltinis, duoda 8% metinių palūkanų. Koks duoto vertybinio popieriaus kursas, kai įdėjimo norma lygi 12%? Pagal (9.35) formulę randame:

Jei šio pajamos išmokamos kas ketvirtį, t.y. p=4, tai:

Kaip matome, dažnesnis išmokėjimas šiek tiek padidino vertę.

Obligacijos be periodiško palūkanų išmokėjimo. Jei palūkanos išmokamos paskolos apmokėjimo momentu, tai bendra suma, kuri išmokama obligacijos savininkui, bus:

N (1+g)ⁿ

Atitinkamai, dabartinis mokėjimo didumas ir obligacijos kursas lygūs:

(9.38)

(9.39)

Obligacijos su nuliniu kuponu. Tokios obligacijos pajamos išreiškiamos kapitalo prieaugiu, ir lygios pirkimo kainos ir išpirkimo sumos skirtumui. Dažniausiai, kaip jau buvo kalbėta, pastaroji lygi nominalui. Tada:

P = Nvⁿ arba P = Cvⁿ.

P_k = vⁿ ´ 100 arba

Obligacijų su vienkartiniu apmokėjimu ir periodiniu pajamų išmokėjimu įvertinimas. Tai labiausiai paplitęs obligacijų tipas, todėl įvertinimo metodą panagrinėsime detaliau. Pradėsime nuo obligacijų su svertiniu palūkanų išmokėjimu ir apmokėjimu pagal nominalą. Šiuo atveju:

(9.40)

(9.41)

Kai pajamos išmokamos p kartų metuose:

(9.42)

(9.43)

kur - p-kartinis rentos diskontavimo koeficientas.

9.19 pavyzdys. 1000 Lt obligacija apmokama po 15 metų pagal nominalą. Obligacija duoda 8% kasmetinio pelno. Reikia rasti obligacijos vertę ir kursą, kai palūkanų norma vertinimo metu lygi 10%.

Kadangi n=15, i=0.1, g=0.08, tai R=1000´ 0.08=80 ir =7.60608.

Gausime:

Dabar tarkime, kad pajamos išmokamos kas pusmetį (kaip dažniausiai ir būna praktikoje), tada:

Obligacijai, pagal kurią palūkanos išmokamos p kartų metuose ir apmokėjimas vyksta pagal pirkimo kainą C, gausime:

9.20 pavyzdys. Pagal paskolos sąlygas, obligacija, kurios nominalas 1000 Lt, perkama po 10 metų už kainą, viršijančią nominalinę 40 Lt. Obligacija duoda 6% pajamų kasmet. Palūkanos išmokamos du kartus metuose. Vertinant obligaciją, naudojama įdėjimo norma, lygi 10%. Reikia rasti obligacijos kainą ir kursą.

Taigi, n = 10, p = 2, i = 0.1, g = 0.06. Pagal užduoties duomenis C = 1040, R = 1000 ´ 0.06 = 60.

Faktorių įtaka. Dabar pažiūrėsime, kaip įvairūs faktoriai veikia obligacijos kainą ir kursą. Daugelis iššių faktorių nustatomi obligacijų išleidimo sąlygomis. Tai obligacijos terminas, kuponinė norma, palūkanų išmokėjimo dažnumas. Vienintelis “išorinis” faktorius yra įdėjimo norma. Išformulių, nustatančių P, seka, kad normos padidėjimas veda prie abiejų vertinimo dėmenų sumažėjimo, vadinasi, ir kainos, ir kurso visumoje. Lentelėse 9.6 ir 9.7 pateikiami P įvertinimai ir jų sudedamosios obligacijai su 10% metinės normos pelningumu, priklausomai nuo įdėjimo normos (i=8, 10 ir 12%). Lentelės skiriasi tik terminu, pirmoje n=10, o antroje n=5 metai.