RIZIKOS IR NEAPIBRĖŽTUMO KIEKYBINIO ĮVERTINIMO SVARBA IR PRINCIPAI

audrius.dzikevicius @ takas.lt

Laiko veiksnio įvertinimas

Vertinant investicinius projektus, pagrindinis dėmesys koncentruojamas į projektuojamas įplaukas bei išlaidas investicinio projekto gyvavimo cikle, t.y. įvairiais būdais bei metodais vertinami projektų pinigų srautai. Kiekvieno investicinio projekto pinigų srautai yra siejami su tam tikrais laiko momentais arba intervalais. Tuo tikslu investiciniuose projektuose fiksuojamos atitinkamos piniginių įplaukų bei išlaidų datos, terminai ar periodai. Kadangi pinigų vertė laike kinta, investiciniuose skaičiavimuose būtina tai įvertinti. Taigi susiduriama su pinigų laiko vertės koncepcija.

Pinigų laiko vertės sąvoka grindžiama prielaida, kad žmonės pirmenybę teikia vartojimui laiko atžvilgiu: labiau linkę vartoti prekes dabar negu tas pačias prekes ateityje. Pinigus taip pat galima laikyti prekėmis. Tuomet pinigų laiko vertę apibrėšime tokiu būdu: litas, gautas šiandien, yra vertingesnis negu litas, gautas ateityje.

Tai yra visai suprantama, kadangi šiandien turimą litą galime investuoti ir uždirbti pelną. Be to, ateities lito vertę mažina infliacija. Vadinasi, kuo litas labiau nutolęs ateityje, tuo mažiau jis vertingesnis.

Turimų pinigų vertės perskaičiavimas būsimajam laikotarpiui vadinamas kaupimu, o būsimosios vertės perskaičiavimas dabartiniam laikotarpiui - diskontavimu. Pabandykime tai išreikšti matematiškai. Visų pirma, nustatykime būsimąją pinigų vertę, t.y. kiek litas, turimas šiandien, bus vertas ateityje esant konkrečiam palūkanų normos lygiui.

Būsimoji pinigų vertė apskaičiuojama pagal tokią formulę:

čia:

FV - būsimoji investicijos vertė po n periodų (metų);

PV - dabartinė vertė (pradinė pinigų suma);

i - palūkanų norma;

n - palūkanų priskaičiavimo periodų skaičius.

Reikia pastebėti, kad kuo didesnis palūkanų priskaičiavimo periodų skaičius, tuo didesnė būsimoji pradinės sumos vertė.

Dabartinės pinigų sumos skaičiavimas, žinant būsimąją vertę, yra atvirkščias ką tik aprašytajam atvejui ir yra vadinamas diskontavimu arba diskontu. Tokiu būdu siekiama nustatyti, kiek yra verta būsima pinigų suma šiandien.

Dabartinė pinigų vertė apskaičiuojama pagal tokią formulę:

Šiuo atveju, kuo laiko trukmė didesnė, tuo mažesnė dabartinė pinigų vertė. Nustatykime PV ribą, kai n artėja į begalybę:

Taigi kuo pinigai yra labiau nutolę laike, t.y. kuo didesnis n, tuo nereikšmingesnė darosi dabartinė vertė. Tą patį galima pasakyti ir apie atvejį, kuomet diskontavimas atliekamas ne vieną, o kelis kartus per metus.

Tam, kad pailiustruoti dabartinės pinigų vertės priklausomybę nuo periodų skaičiaus, 1. grafike pavaizduosime 100 000 LTL dabartinės vertės kitimą per 50 metų, kai diskonto norma yra 15 %. Matome, kad jau po 13 metų 100 000 LTL dabartinė vertė sumažėja 5 kartus, t.y. iki 20 000 LTL, o po 50 metų 100 000 LTL vertė lieka lygi tik 92,28 LTL.

Ką tik išnagrinėtas pavyzdys atspindi ekonominių uždavinių sprendimą apibrėžtumo sąlygomis, t.y. kuomet rezultatas yra nusakytas vienareikšmiškai, tačiau, pažymėtina, jog daugelis ekonominių sprendimų yra priimami rizikos ar neapibrėžtumo sąlygomis. Investicinių projektų vertinimas rizikos bei neapibrėžtumo sąlygomis, remiasi pagrindinių tikimybių teorijos bei matemtinės statistikos teiginių ir kategorijų samprata.

Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos elementai

Atsitiktiniai dydžiai

Dydis vadinamas atsitiktiniu, jeigu po stebėjimo jis gali įgauti kurią nors skaitinę reikšmę, nenusakomą iš anksto vienareikšmiškai (determinuotai) ir priklausomą nuo atsitiktinių priežasčių, kurių negalima numatyti iš anksto. Dydis, kuris po stebėjimo gali įgauti tik tai vienintelę galimą reikšmę, laikomas determinuotu. Kaip jau buvo minėta, daugelis ekonominių reiškinių rezultatų savo prigimtimi yra atsitiktiniai.

Su atsitiktiniu dydžiu yra siejama tikimybės sąvoka. Tikimybė - tai atsitiktinio dydžio įvykimo galimybė, jos kiekybinis matas. Atsitiktinio dydžio tikimybės skaitinė reikšmė gali kisti nuo 0 iki 1.

Atsitiktiniai dydžiai skirstomi į diskrečiuosius ir tolydžiuosius dydžius. Dydis, galintis įgyti rezultatą tik iš suskaičiuojamų reikšmių kiekio, laikomas diskrečiuoju atsitiktiniu dydžiu, o dydis, galintis įgyti bet kurią reikšmę iš tam tikro intervalo, vadinamas tolydžiuoju atsitiktiniu dydžiu.

Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pavyzdys yra per vieną prekybos sesiją vertybinių popierių biržoje parduodamų akcijų skaičius, nes tai gali būti tik, 0, 1, …, 100 ir t.t. akcijos. O laiko tarpas tarp dviejų sandorių biržoje yra tolydžiojo atsitiktinio dydžio pavyzdys. Žinoma, šiuo atveju, turi būti įvykę bent du sandoriai.

Atsitiktinio dydžio tikimybiniai pasiskirstymai

Jei yra išvardintos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir nurodytos šių reikšmių tikimybės (arba nurodytas šių tikimybių skaičiavimo būdas), tuomet laikoma, kad atsitiktinis nusakytas tikimybiniu pasiskirstymus arba tiesiog pasiskirstymu.

Diskretusis atsitiktinis dydis paprastai nusakomas lentele, kurios viršutinėje eilutėje surašomos galimos reikšmės, o apatinėje - tų reikšmių tikimybės:

čia: å p_i = 1

Grafikas, atitinkantis lentelę su atsitiktinių dydžių reikšmėmis abscisių ašyje ir tikimybėmis ordinačių ašyje, vadinamas to dydžio histograma.

Funkcija, nusakyta konkrečia lentele arba konkrečia histograma, vadinama pasiskirstymo dėsniu. Pasiskirstymo dėsnis dažniau vadinamas pasiskirstymo tankio funkcija.

Dar pasiskirstymo dėsnis vaizduojamas taip vadinama tankio funkcija, kurios išraiška yra tokia:

čia:

X - nagrinėjamas atsitiktinis dydis;

y - bet kuris atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibės skaičius.

Pasiskirstymo funkcija turi tokią savybę: 0 £ F(y) £ 1

Priešinga pasiskirstymo funkcijai yra išlikimo funkcija S(y):

Teorijoje yra daugybė įvairių skirtingų pasiskirstymo dėsnių, tačiau praktiniuose investiciniuose skaičiavimuose tenka apsiriboti ganėtinai ribotu pasiskirstymo dėsnių skaičiumi. Be to, yra įrodyta, kad, kai stebėjimų skaičius yra pakankamai didelis, bet kurį atsitiktinį dydį galima aproksimuoti normaliuoju pasiskirstymo dėsniu. Taigi šiame darbe apsiribosime normaliojo pasiskirstymo dėsnio nagrinėjimu ir pritaikymu konkrečiuose skaičiavimuose.

Kartais, atliekant ekonominius skaičiavimus, nesiekiama nustatyti nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio, o apsiribojama tik tam tikrų atsitiktinio dydžio savybių, tokių kaip matematinis vidurkis ar išsisklaidymas, nustatymu. Matematinis vidurkis MX diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui skaičiuojamas pagal tokią formulę:

Atsitiktinio dydžio išsisklaidymo matas yra dispersija D, kuri skaičiuojama pagal tokią formulę:

Išsisklaidymas taip pat matuojamas vidutiniu standartiniu nuokrypiu SDX, kuris lygus dispersijos kvadratinei šakniai.

Be to, remsimės prielaida, kad tolydžiojo atsitiktinio dydžio nagrinėjimą, jeigu galimų reikšmių aibė yra pakankamai didelė, beveik visuomet įmanoma pakeisti diskrečiojo atsitiktinio dydžio nagrinėjimu. Tokiais atvejai naudojama intervalinė stebėjimų lentelė, kurioje nurodomos ne atskiros galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o galimi intervalai ir jų tikimybės:

čia: (a_1; a_n) - galimų X reikšmių intervalas;

å p_i = 1.

Diskrečiojo atsitiktinio dydžio atveju apatinėje lentelės dalyje būtų įrašomos tikimybių sumos, su kuriomis atsitiktinio dydžio galimos reikšmės patenka į nurodytus intervalus.

Sistemindami stebėjimus apie mus dominančius pasiskirstymus, juos pateiksime tokia empirinių dažnių lentele:

1. lentelė. Empirinių dažnių lentelė

Čia stebėjimo duomenys laikomi diskrečiuoju pasiskirstymu, o kiekvieno stebėjimo rezultatai yra nepriklausomi ir turi tikimybę 1/n, kur n yra stebėjimų skaičius. Darbe atliekamuose skaičiavimuose bus naudojama 2000 stebėjimų.

Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos taikymo rizikos ir neapibrėžtumo vertinime pavyzdžiai

Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos taikymą rizikos ir neapibrėžtumo vertinime iliustruosime keliais pavyzdžiais.

Pavyzdžiui, jeigu norėsime apskaičiuoti 100 000 LTL , gautinų ateinančiais metais, dabartinę vertę, gausime tokią sumą:

Jeigu diskonto norma yra apibrėžtas dydis, tarkime 12 %, tuomet:

Tačiau, jeigu diskonto norma yra nusakoma normaliuoju pasiskirstymu su vidurkiu 12 % ir standartiniu nuokrypiu 3 %, tuomet sukauptos sumos pasiskirstymą norimu tikslumu galima aproksimuoti empirinių dažnių lentele (žr. 2. lentelė) ar tiesiog histograma (žr. 1. pav).

2. lentelė. Dabartinės vertės empirinių dažnių lentelė

Empirinių dažnių lentelė leidžia įvertinti palankių (dabartinė vertė bus pakankama) ir nepalankių (dabartinė vertė bus per maža) įvykių galimybes, t.y. turėti tų įvykių tikimybių įvertinimus. Lentelėje matyti, jog yra visai tikėtina (empirinė tikimybė P₁ = 1732/2000 = 0,8660), kad dabartinė vertė bus didesnė nei 91320 LTL, tačiau ji neviršys 95940 LTL (empirinė tikimybė P₂ = 1985/2000 = 0,9925). O jeigu, tarkime 89010 LTL yra kritinis lygis, kurio negavus būtų galima susilaukti neigiamų padarinių, tai tokio įvykio tikimybė yra pakankamai didelė (empirinė tikimybė P₃ = 866/2000 = 0,4330). Kaip apskaičiavome anksčiau, dabartinė vertė, jeigu diskonto norma būtų pastovi ir lygi 12 %, būtų 89285,71 LTL, tuo tarpu pasiskirstymo vidurkis yra 89427,67 LTL.

Dabartinės vertės empirinį pasiskirstymą galime taip pat pavaizduoti histograma.

1 pav. Dabartinės vertės empirinio pasiskirstymo histograma

Dabartinių verčių sumų išsisklaidymas arba rizika tiesiogiai priklauso nuo diskonto normos neapibrėžtumo. Šį teiginį pailiustruosime pavyzdžiu. 3. lentelėje yra pavaizduoti trys dabartinės vertės pasiskirstymo empiriniai įvertinimai. Visuose variantuose pavaizduotos 100 000 LTL sumos, gautinos po vienerių metų, dabartinės vertės, kai diskonto norma yra atsitiktinis dydis, pasiskirstęs pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, kurio vidurkis - 12 %, o standartinis nuokrypis: 1-ame variante 2 %, 2-ame variante 3 %, 3-iame - 4 %.

3. lentelė. Dabartinių verčių empiriniai įvertinimai

Iš lentelės aiškiai matyti, kad didėjant išsisklaidymo matui - vidutiniam standartiniam nuokrypiui, didėja dabartinių verčių išsibarstymas apie vidurkį. Tai dar aiškiau matyti 2. paveiksle.

2. pav. Dabartinių verčių pasiskirstymai

Skaičiavimai atlikti su statistiniu paketu Statistica 5.0 bei elektronine skaičiuokle MS Excel 97.

BACK

E-mail: audrius.dzikevicius @ takas.lt

Design by Audrius Dzikevičius